Análise de Sensibilidade
Conceito de Análise de Sensibilidade
A Análise de Sensibilidade é usada para determinar se e como a solução ótima de um problema de programação linear muda quando há variações nos dados de entrada, sem a necessidade de resolver o problema novamente. Isso permite que o tomador de decisão compreenda o impacto de pequenas mudanças, como:
- A compra de uma tonelada adicional de matéria-prima.
- Reduções no preço de um produto.
- A viabilidade econômica de um novo produto.
Essa análise é especialmente útil para lidar com incertezas nos dados, como preços e quantidades em estoque.
Exemplo de Problema
Uma metalúrgica produz dois tipos de ligas metálicas. Cada liga é composta de proporções diferentes de cobre, zinco e chumbo, os quais estão disponíveis em quantidades limitadas em estoque. Deseja-se determinar quanto produzir de cada liga, maximizando a receita bruta, satisfazendo as restrições de disponibilidade de matéria-prima.
Composição das Ligas
| Matéria-prima | Liga 1 | Liga 2 | Estoque (toneladas) |
|---|---|---|---|
| Cobre | 50% | 30% | 3 |
| Zinco | 10% | 20% | 1 |
| Chumbo | 40% | 50% | 3 |
- Preço de venda da Liga 1: R$ 3.000/ton.
- Preço de venda da Liga 2: R$ 2.000/ton.
Função Objetivo
Queremos maximizar a receita, que pode ser expressa pela função objetivo:
onde:
= toneladas de Liga 1 a serem produzidas, = toneladas de Liga 2 a serem produzidas.
Restrições
As restrições de disponibilidade de matéria-prima são dadas por:
Além disso, temos as condições de não-negatividade:
Solução Ótima
Após resolver o problema utilizando o método Simplex, obtemos a solução ótima:
Cálculo da Análise de Sensibilidade
Preço-sombra (Shadow Price)
O preço-sombra indica o quanto o valor ótimo varia à medida que aumentamos a disponibilidade de uma unidade adicional de recurso, dentro de um intervalo permitido. Para calcular o preço-sombra, usamos as seguintes variáveis:
: Preço-sombra da restrição . : Quantidade disponível do recurso na restrição .
Se
Intervalos Permitidos
Os intervalos nos quais o preço-sombra é válido são dados pelas colunas Permitido Aumentar e Permitido Reduzir na tabela de análise de sensibilidade. Essas colunas indicam até que ponto podemos aumentar ou reduzir os recursos sem mudar a base ótima. Para o exemplo das ligas metálicas:
- O estoque de cobre pode variar entre 2,67 e 3,75 toneladas. Dentro desse intervalo, o preço-sombra de 5,38 é válido.
- Fora desse intervalo, o valor do preço-sombra pode mudar.
Modificação no Estoque de Recursos
Exemplo: Cobre
Se aumentarmos o estoque de cobre de 3 para 3,75 toneladas, podemos calcular o novo valor ótimo como:
Portanto, o valor ótimo aumentaria para R$ 22.500.
Exemplo: Chumbo
Se aumentarmos o estoque de chumbo em uma tonelada (para 4 toneladas), o novo valor ótimo será:
Mudanças nos Coeficientes da Função Objetivo
Além de modificações nos recursos, podemos analisar o impacto de mudanças nos coeficientes da função objetivo. Para isso, a Análise de Sensibilidade nos dá os intervalos dentro dos quais o coeficiente da função objetivo pode variar sem alterar a base ótima.
- O coeficiente de
(o preço da Liga 1) pode variar entre 1,6 e 3,33. Se o preço de venda da Liga 1 cair abaixo de 1,6 ou subir acima de 3,33, a base ótima pode mudar, o que significaria uma solução diferente.
Inserção de Novas Variáveis
A Análise de Sensibilidade também pode ser usada para estimar o impacto da inserção de uma nova variável no problema. Por exemplo, se a metalúrgica quiser introduzir uma nova liga metálica (Liga 3), com uma composição diferente de matérias-primas, podemos calcular o preço mínimo dessa nova liga para que seja vantajoso produzi-la, sem resolver o problema novamente.
Se a Liga 3 for composta de 30% de cobre, 30% de zinco e 40% de chumbo, a Análise de Sensibilidade nos permite calcular o preço mínimo necessário para que essa liga entre na base ótima.
Exemplo com Nova Liga (Liga 3)
Se a composição da Liga 3 for:
Podemos considerar essa variável como não-básica
Essa abordagem economiza tempo e recursos computacionais, já que evita a necessidade de resolver o problema do zero cada vez que há pequenas modificações nos parâmetros ou variáveis.
Material didático retirado dos slides do prof. Pedro Munari da UFScar: https://www.dep.ufscar.br/munari/