Condições de Otimalidade - KKT

As condições Karush-Kuhn-Tucker (KKT) são um conjunto de condições necessárias (e em alguns casos suficientes) para que uma solução seja ótima em um problema de otimização restrita. Essas condições são amplamente utilizadas em otimização não linear e são especialmente úteis quando o problema tem restrições tanto de igualdade quanto de desigualdade.

Considere o seguinte problema de otimização:

As condições KKT são:

1. Gradiente da Função Lagrangiana: O gradiente da função Lagrangiana (composta pela função objetiva e as restrições multiplicadas pelos multiplicadores de Lagrange) em relação a deve ser zero:

onde e são os multiplicadores de Lagrange associados às restrições de igualdade e desigualdade, respectivamente.

2. Restrições de Igualdade:

   Todas as restrições de igualdade devem ser satisfeitas:

3. Restrições de Desigualdade:

   Todas as restrições de desigualdade devem ser satisfeitas:

4. Complementariedade: Os multiplicadores de Lagrange associados às restrições de desigualdade devem satisfazer:

   Esta condição significa que se uma restrição de desigualdade é ativa (ou seja, , então o multiplicador de Lagrange associado deve ser positivo. Se a restrição é inativa (ou seja, ), então o multiplicador de Lagrange associado deve ser zero.

5. Dualidade Fraca: Os multiplicadores de Lagrange associados às restrições de desigualdade devem ser não negativos: