Lagrangiano Aumentado

O método do Lagrangiano Aumentado é uma técnica para resolver problemas de otimização com restrições. Este método é particularmente útil para resolver problemas não-lineares com restrições de igualdade e/ou desigualdade.

Forma geral do problema de otimização

O problema de otimização com restrições pode ser formulado da seguinte maneira:

onde é o vetor de variáveis de decisão, é a função objetivo, são as restrições de igualdade e são as restrições de desigualdade.

Lagrangiano Aumentado

Para resolver este problema, formulamos o Lagrangiano Aumentado como:

onde são os multiplicadores de Lagrange para as restrições de igualdade,são os multiplicadores de Lagrange para as restrições de desigualdade, e é um parâmetro de penalização.

Algoritmo

1. Inicialização: Escolha pontos iniciais , , , e . Defina .
2. Passo de Otimização: Resolva o problema de otimização para o Lagrangiano Aumentado:

3. Atualização de e:

4. Critério de Parada: Se as condições de otimalidade forem satisfeitas, pare. Caso contrário, defina e volte para o passo 2.